라플라스 변환

증명없음

시험정리용

 

 

 

 

f(t)에 e^(-st)를 곱하고 0부터 무한대까지 적분시키는 식이 라플라스 변환이라고 한다.

보통 이거 그대로 적분을 하여 풀지는 않고, 표에 있는 내용들을 외워서 문제를 푼다.

외울 분량이 좀 많은데 미적분학으로 따지자면 삼각함수 파트에 해당하는 분량으로 외울게 많다. 근데 외운만큼 뇌없이 풀 수 있는 문제들이다.

 

 

unit step function과 dirac delta function은 나중에 설명할 내용이지만 일단 외워야하므로 여기에 추가하였다.

 

 

 

위 테이블에 나온 자연상수의 지수 함수와 다른 기본함수가 서로 곱해진 함수에 라플라스 변환을 한다면 지수함수에 나와있는 차수의 계수만큼 평행이동을 한다.

이것을 s-shift라고 부른다.

 

이런꼴인데

 

예를 들면

 

이런식으로 s를 넣을 자리에 s-a를 넣어주면 된다.

 

F(s-a)는 s-shift라면 f(t-a)도 있는데 이것은 t-shift라고 부른다. 이건 unit step function에서 설명할 예정이다.

 

 

그리고 당연한 소리지만 라플라스 역변환을 구하는 문제도 있다.

 

 

 

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- Linearity of Laplace Transform

 

라플라스 변환은 선형성을 갖는다.

즉 중첩의 원리가 적용된다.

 

 

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-Transforms of Derivatives and Integrals. ODEs

 

라플라스의 미분은 아래와 같은데 보통 2차 미분방정식을 풀고 있으므로 일반식보다는 아래 2개의 식을 외우는게 더 편할 수도 있다.

 

이렇게 식들이 있는데 이걸 일반화 시키면 아래와 같다.

 

 

적분은 배우긴 했는데 문제에서 써먹어보지는 못했다.

 

 

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미분방정식을 풀 때, 초기값이 주어지는데 y(a) = ?, y'(a) = ??(a는 0이 아닌 수)로 주어진다면

 

x = t - a, y -> z로 치환 시켜서 문제를 풀고, 다시 치환을 풀어서 답을 적으면 된다.

 

ex)

 

y''(t)+2y'(t)+y(t) = 2t, y(1) = 0, y'(1) = 0이라면

 

x = t-1, y -> z로 바꿔서

 

z''(x) + 2z'(x) + z(x) = 2(x-1)로 z(x)를 구한다.

 

그다음 z(x)식에 x = t-1를 넣어서 식을 정리하면 y(t)가 된다.

 

 

 

 

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-Unit Step Function

 

u(t-1) 일 때, 그래프를 그려보면 아래와 같이 나온다.

 

이처럼 t가 1보다 작을 때 0이고, t가 1보다 클 때 1의 값을 갖는 함수이다. 

 

이걸 1대신 0이상의 수 a로 나타내면 아래와 같은 식으로 나타낼 수 있다.

 

이때 a>=0이다.

이때 라플라스 변환은

 

이다.

 

 

이 unit step function이 다른 기본 함수와 같이 쓰인다면

 

이렇게 쓸 수 있다.

 

이것을 t-shift라고 부른다.

s-shift랑 t-shift의 차이점은 s-shift는 F(t-s)로 F식에서 평행이동을 한다는 뜻이고,  t-shift는 f(t-a)로 f식에서 평행이동을 한다는 뜻이다.

 

 

unit step function의 중요한 특징은 y'' + ay' + by = r(x)에서 r(x)가 구간마다 전혀 다른 함수를 가지고 있을 때, unit step function을 이용하여 하나의 식으로 표현할 수 있다.

 

예를 들면

 

이렇게 생긴 함수가 있을 때

 

2는 0<t<1에서만 움직이므로

이런식이 나온다.

t>1일때 u(t-1)=1이므로 위식은 0이 된다.

 

0.5t^2는 1<t<0.5pi에서만 움직인다.

그래서 이렇게 표현할 수 있다.

t<1일때는 값이 0

1<t<0.5pi일때는 값이 0.5t^2

t>0.5pi일때는 값이 0이다.

 

아래 그래프를 통해서 알 수 있다.

 

cost는 t>0.5pi일때이므로

이렇게 쓸 수 있다.

 

이것을 다 더해주면 되므로 

 

이렇게 하나의 식으로 표현할 수 있다.

 

그리고 이걸 라플라스 변환을 시켜야할 때는 u(t-1)이 있는 식에서는 t를 (t-1)로 식을 적절히 바꾸어서 만들어야하고, u(t-0.5pi)는 t대신 (t-0.5pi)로 만들어서 해야된다.

 

그러니까

이 식을 예로 들어보면

이렇게 바꿔줘야한다는 소리이다.

 

 

 

역변환도 할 수 있다.

역변환은 아마 (자연상수의 지수함수)*(기본 함수)*(Unit Step 함수) 꼴로 나올 확률이 높다.

이런 식은 실수하기 쉬운데

 

예를 들면

위 식은

 

이렇게 풀어야하므로 까딱하는 순간 답이 틀릴 수도 있으니 조심해야한다.

 

 

 

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- Dirac's Delta Function

 

 

이 것만 알면 된다.

 

어차피 미분방정식을 풀때는 라플라스 변환을 할때만 쓰이고, 역변환을 할 때는 Unit Step Function으로 바뀌기 때문에 이것만 알아도 충분하다.