고차 미분방정식

증명 없음

시험 공부용

 

 

고차 미분방정식도 1차 미분방정식과 마찬가지로 r(x)=0인 homogeneous와 r(x) != 0인 nonhomogeneous 크게 두가지로 나뉜다.

 

본문에서는 간단하게 2차 미분방정식으로만 적었는데, 마지막에 Variation of Parameters만 3차 이상의 미분방정식에서 어떻게 구하는지 따로 적어두었다. 

 

Homogeneous

Nonhomogeneous

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Homogeneous

 

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1-1 Superposition Principle

 

위 미분방정식의 해가 y₁, y₂ 일 때, y =c₁y₁ + c₂y₂도 해이다.

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1-2. Reduction of Order

y₁을 쉽게 구하였지만 y₂를 구하기 힘들 때, y₂ = uy₁로 치환하여 y₂를 구한다.

 

 

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1-3. Homogeneous Linear ODEs with Constant Coefficients

 

위와 같은 미분방정식이 있고, a와 b가 상수일 때 y = e^(lambda x)로 치환하여 문제를 풀 수 있다.

여기서 판별식이 쓰이고 근이 3가지 형태로 나뉜다.

 

고차 특성 미분방정식은 구할 수 있는 근들을 다 더해주면 된다.

 

1) 서로 다른 실근일 때(D > 0)

 

2) 중근이 나올 때(D = 0)

 

3) 허근이 나올 때(D < 0)

위에 나온 y1, y2에 나온 오메가를 y에 있는 식에 있는 오메가에 넣어주면 된다.

 

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1-4. Cauchy-Euler Equations

이런 꼴의 방정식이 있을 때

y = x^m이라고 풀어서 m을 구한뒤 판별식을 사용한다.

 

1) 서로 다른 실근이 나올 때(D > 0)

2) 중근이 나올 때(D = 0)

3) 허근이 나올 때(D < 0)

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2. Nonhomogeneous

 

위 방정식의 해는 아래와 같다.

해를 구하려면 yh 와 yp의 합으로 해를 구해야하는데, yh는 r(x)=0으로 만들고 풀면된다. Homogeneous로 푼다는 소리이다.

yp는 상황에 따라 Undetermined Coefficients와 Variation of Parameters 두가지 방법으로 풀 수 있다.

 

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2-1. Undetermined Coefficients

 

r(x)의 값에 따라 yp의 값이 변한다.

 

- y_h(x)의 해의 일부가 y_p(x)와 동일모양이면 y_p(x) 식 전체에 y_h(x)와 다른 식이 되게 만들 수 있는 xⁿ을 곱해준다.

ex)

- r(x)가 여러형태로 합쳐져 있는 식이라면 그것을 하나씩 쪼개 y_p도 여러개로 나누어서 풀음

ex)

 

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2-2. Variation of Parameters

 

yh(x)의 해를 알고 있지만, yp(x)의 해를 Undetermined Cofficients로 풀기 오래 걸릴 것 같으면 이 방법으로 문제를 풀 수 있다. 그런데 이게 더 손으로 풀기 귀찮다.

 

 

고차 미분방정식일 경우

 

ex)

일때 W는 아래와 같다.

W1, W2, W3은 x열의 값들을 {0, .... , 0, 1}로 값을 교체해주고 구하면 된다.