연립 미분 방정식(일반)

증명없음

시험공부용

 

 

연립 2차 미분방정식은 지금까지 배운 미분방정식 풀이방법을 이용하거나, 라플라스 변환을 이용해 푸는 방법이 있다.

라플라스 변환은 이제 막 배우기 시작해서 나중에 글을 쓸 예정이다.

 

 

연립방정식도 Homogeneous, Nonhomogeneous 두가지로 나뉜다.

 

 

1. Homogeneous

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두 식이 있을 때

로 두어

 

요 모양으로 만들어서 문제를 푼다.

를 넣어 정리하면

인데 e^λt는 무조건 양수이므로 없애준다.

여기서 det(x) != 0이므로 det(A-λI) = 0이어야 한다.

그러면 λ 값을 2개 구할 수 있다.

 

각각 저 식에 λ값을 대입해서 x의 값을 2개 구하면 된다.

그리면 위와 같은 식을 얻을 수 있다.

 

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2. Nonhomogeneous

 

Homogeneous식과 다르게 g가 생겼다. g는 r(x)라고 생각하면 된다.

 

연립방정식 역시 Nonhomogeneous면 y = y_h + y_p로 해를 구해야한다.

 

그리고 y_p를 구할 때는 그냥 미분방정식처럼 Undertermined Coefficients와 Variation of Parameters로 나뉜다.

Undetermined Coefficients는 푸는 방법이 비슷하지만, Variation of Parameters는 푸는 방법이 좀 다르다.

 

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2-1. Undetermined Coefficients

 

Undertermined Coefficients는 원래 쓰던 미방처럼 푸는 것과 비슷하다.

살짝 다른점이 뭐냐면

이렇게 g에 e^t가 있어서 y_p가 ue^t가 되야하는데, y_h가 ke^t인 경우

y_p는 ue^t + vte^t로 풀어줘야한다.

그냥 미방에서는 y_h = ke^t라면 y_p = vte^t로 풀었지만 여기서는 해를 구할 때 상수 c가 u를 전부 흡수하지 못하기 때문에 ue^t + vte^t로 풀어야한다.

여기에 있는 y_p값을

여기에 대입해서 u와 v를 구하면 된다.

 

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2-2. Variation of Parameters

 

먼저 y_h를 구하고 나서 y_h = Yc로 Y를 빼오고, 거기에 u를 곱하면 y_p라고 한다.

u는 어떻게 구하냐면

여기에 y_p를 대입한다.

인데 Y' = [y1' y2']로 homogeneous의 해인 y_h와 같으므로 Y' = AY를 넣어준다.

로 우리는 Y의 값과, g값을 알고 있으니 u값을 구할 수 있다.

u값을 구하고 식 y_p = Yu에 대입해주면 끝난다.